加零處理

為了便于對(duì)序列x(nT_s)進(jìn)行FFT處理，希望采樣序列長(zhǎng)度N是2的整數(shù)次冪。而按前面方法確定的N一般不滿足這個(gè)條件，為此，通常用給x(nT_s)加零的辦法，使

 

式中，P是正整數(shù); N_x是加零點(diǎn)數(shù)。

此外，信號(hào)經(jīng)過(guò)FFT后得到的頻諧是離散的譜線，譜線間隔。因此，用離散傅里葉變換來(lái)觀看頻諧，只能通過(guò)一個(gè)“柵欄”來(lái)觀看，即只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)的頻譜。如果一個(gè)頻率分量恰巧落在兩個(gè)離散譜線之間，這個(gè)頻率分量就會(huì)看不到，這稱為“柵欄效應(yīng)”。為了克服該效應(yīng)對(duì)頻率分辨力的影響，可在原信號(hào)的末端補(bǔ)加一些零，這相當(dāng)于人為地增加了時(shí)域截?cái)嚅L(zhǎng)度T,也就能在頻譜形式不變的情況下，變更譜線的位置，減小譜線間隔，以便有可能看到原來(lái)看不到的頻譜分量(見(jiàn)圖3-6）。所以，加零可以提高頻率分辨力。

 

頻譜分析常用定理

頻譜分析中經(jīng)常要用到一些頻譜定理，其實(shí)質(zhì)是傅里葉變換的某些性質(zhì)，它反映了信號(hào)同其頻譜之間的基本關(guān)系，常用的頻譜定理包括:

(1)線性疊加定理   如果x(t)和y(t)分別有傅里葉變換X(f)和Y(f),則它們的和x(t)+y(t)有傅里葉變換X(f) + Y(f),如圖3-7所示。

(2)對(duì)稱或?qū)ε级ɡ?  若時(shí)域函數(shù)x(t)對(duì)應(yīng)頻譜為F(f),即x(t)? F(f)，則有

 

(3)時(shí)間展縮定理    如果x(t)的傅里葉變換是F(f)，則x(kt)的傅里葉變換對(duì)為

 

在科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域，傅里葉變換的時(shí)間尺度變化這一性質(zhì)為大家所熬悉，如圖3-8所示，時(shí)間尺度擴(kuò)展(或壓縮)h倍，相應(yīng)于頻率尺度壓縮(或打辰)h倍。應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)時(shí)間尺度擴(kuò)展時(shí)，不僅頻率尺度縮小，而且頻率域里的垂直幅度增大，使曲線下的面積保持不變。在用磁帶機(jī)作擴(kuò)展時(shí)間軸和壓縮時(shí)間軸的頻譜分析中，這是一個(gè)具有實(shí)用價(jià)值的方法。

     

a)時(shí)間沒(méi)有擴(kuò)展    b）時(shí)間放慢2倍，k=1/2   c）時(shí)間放慢4倍，k=1/4

(4)頻率展縮定理   如果F(f)的傅里葉變換是x(t)，k是實(shí)數(shù)，則F(kf)的傅里葉變換可由下面傅里葉變換對(duì)給出:

 

與時(shí)間尺度改變相類似，頻率尺度擴(kuò)展(或壓縮)k倍，將導(dǎo)致時(shí)間尺度壓縮(或擴(kuò)展)k倍。這個(gè)效應(yīng)如圖3-9所示。當(dāng)頻率尺度擴(kuò)展時(shí)，時(shí)間函數(shù)的幅度就增大。

(5)時(shí)間位移——時(shí)移定理   如果x(t)的自變量t被移動(dòng)一個(gè)常量 ,則可

圖3-9 頻率尺度變化性質(zhì)

a）頻率沒(méi)擴(kuò)展  b）頻率展縮為1/2，k=1/2   c)頻率展縮為1/4，k=1/4

得到

 

這個(gè)變換對(duì)的圖解如圖3-10所示?？梢钥闯?，由于時(shí)間位移而引起了相角 的變化，即

 

圖3-10時(shí)間位移性質(zhì)

a)沒(méi)有時(shí)移時(shí)

    

圖3-10 時(shí)間位移性質(zhì)(續(xù))

b)時(shí)移45°時(shí)   c）時(shí)移90o時(shí)   d）時(shí)移180°時(shí)

應(yīng)該指出，時(shí)間位移并不改變傅里葉變換頻域幅值的大小。